Всего: 47 1–20 | 21–40 | 41–47
Добавить в вариант
Докажите, что для любого целого числа N уравнение 
имеет решение в целых числах.
Рассмотрим уравнение 
Пусть числа A и B взаимно просты. Тогда существуют такие целые числа y и z, что 
Следовательно, 
Поэтому наше уравнение имеет следующее решение в целых числах:
Утверждение доказано.
Сколько решений в целых числах имеет уравнение 
Заметим, что если число n четное, то n4 делится на 16.
Если n нечетное, то число
делится на 16.
Следовательно, остаток от деления на 16 левой части уравнения 
равен количеству нечетных чисел в наборе 
т. е. не превосходит 14. С другой стороны, 2031 имеет остаток 15 при делении на 16, а значит равенство левой и правой частей невозможно. Таким образом, решений не будет, поэтому уравнение будет иметь 0 целочисленных решений.
Ответ: 0.
| Критерии оценивания выполнения задания | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Полное решение. | + | 16 |
| Представлены основные логические шаги решения. В решении отсутствуют некоторые обоснования. | ± | 12 |
| Найдена идея решения, но оно не доведено до конца. При этом выполнена некоторая существенная часть задания. | +/2 | 8 |
| Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное продвижение в верном направлении. В частности, могут быть приведены оценки для и дан верный ответ. | ∓ | 4 |
| Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше. | −/0 | 0 |
| Максимальный балл | 16 | |
Решите уравнение 
в целых числах.
Пусть сначала 
Исходное уравнение в этом случае примет вид: 
(1)
то правая часть (1) кратна трем, а левая — нет. Значит, 
Если же предположить, что 
то, переписав (1) в виде 
вновь придем к противоречию: кратное трем число 
не может быть никакой степенью двойки. Поэтому 
и 
Пусть теперь числа x и y различны. Можно считать, что 
Положим:
Исходное уравнение запишется в виде
Заметим, что 
Действительно, из (3) следует, что 
Если то левая часть последнего равенства делится на 3, а правая — нет. Значит, Но тогда и 
(иначе, согласно (3), дробное число равнялось бы целому). Число 2 входит в канонические разложения на простые множители левой и правой частей (3) в одной и той же степени, поэтому 
(4)
(5)
Пусть 
Тогда 
С учетом (2) и (4) находим решение исходного уравнения: 
Пусть 
Тогда левая часть (5) кратна 4. Если t нечетно, то правая часть (5) на 4 не делится. Значит, 
Из (5) следует, что 
Значит, числа 
и 
являются степенями двойки. Заметим также, что на числовой оси эти числа находятся друг от друга на расстоянии 2. Такое возможно, только если 
Отсюда 
и тогда 
Подставляя найденные значения в (2) и (4), получаем решение 
Ответ: (−1, −1, 0), (1, 2, 1), (2, 5, 2) (при условии 
Решите уравнение в целых числах.
Пусть сначала Исходное уравнение в этом случае примет вид: (1) то правая часть (1) кратна трем, а левая — нет. Значит, Если же предположить, что то, переписав (1) в виде вновь придем к противоречию: кратное трем число не может быть никакой степенью двойки. Поэтому и
Пусть теперь числа x и y различны. Можно считать, что Положим:
Исходное уравнение запишется в виде
Заметим, что Действительно, из (3) следует, что Если то левая часть последнего равенства делится на 3, а правая — нет. Значит, Но тогда и (иначе, согласно (3), дробное число равнялось бы целому). Число 2 входит в канонические разложения на простые множители левой и правой частей (3) в одной и той же степени, поэтому (4) (5)
Пусть Тогда С учетом (2) и (4) находим решение исходного уравнения:
Пусть Тогда левая часть (5) кратна 4. Если t нечетно, то правая часть (5) на 4 не делится. Значит, Из (5) следует, что Значит, числа и являются степенями двойки. Заметим также, что на числовой оси эти числа находятся друг от друга на расстоянии 2. Такое возможно, только если Отсюда и тогда Подставляя найденные значения в (2) и (4), получаем решение
Ответ: (−1, −1, 0), (1, 2, 1), (2, 5, 2) (при условии
Решите в целых числах уравнение 
Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:
Дискриминант этого уравнения равен 
Он положителен лишь для следующих значений
Ответ: 
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Решение задачи сведено к исследованию квадратного уравнения относительно x или y и получены не все пары
Решить в целых числах уравнение 
Так как 
и 
при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 то 
может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 20 172 018 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: целочисленных решений нет.
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Рассуждения в целом верные, но правильный ответ недостаточно обоснован — 3 балла. Получен верный ответ без обоснования или с неверным обоснованием — 0 баллов.
Решите в целых числах уравнение: 
Разложим левую часть уравнения, например, с помощью группировки, на множители:
Откуда получим следующий вид исходного уравнения: 
Учитывая, что x и y — целые числа, а число 7 — простое число, решение уравнения сводится к решению четырех систем:
Решая эти системы уравнений, получаем четыре пары решений: 
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Замечание. За каждое правильное решение, найденное подбором — 1 балл.
Решите в целых числах уравнение:
Решение этой задачи полностью совпадает с решением задачи в варианте 1 под номером 646.
Ответ:
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Замечание. За каждое правильное решение, найденное подбором — 1 балл.
Найдите количество пар целых чисел (x; y), удовлетворяющих равенству 
Раскладывая левую и правую части уравнения на множители, получаем
Тогда если 
то x является одним из делителей правой части. Всего у правой части 
делителей (так как любой делитель представим в виде 
где a, b и 
и при этом y находится однозначно. Следовательно, всего есть 
пары чисел.
Ответ: 256.
Левая часть уравнения разложена на множители — баллы не добавляются.
Сделан подсчет — 4 балла.
Если при этом не учтены отрицательные значения x — 2 балла вместо 4.
Найдите количество пар целых чисел (x; y), удовлетворяющих равенству 
Раскладывая левую и правую части уравнения на множители, получаем
Тогда если 
то y является одним из делителей правой части. Всего у правой части 
делителя (так как любой делитель представим в виде 
где a, b и c целые неотрицательные числа, не превосходящие соответственно 1, 8 и 8, т. е. есть 2 способа выбрать a, 9 способов выбрать b и 9 способов выбрать с). Заметим, что если правая часть делится на y, то тогда автоматически выходит, что 
и при этом x находится однозначно. Следовательно, всего есть 
пары чисел.
Ответ: 324.
Левая часть уравнения разложена на множители — баллы не добавляются.
Сделан подсчет — 4 балла.
Если при этом не учтены отрицательные значения x — 2 балла вместо 4.
Найдите количество пар целых чисел (x; y), удовлетворяющих условию 
Раскладывая левую и правую части уравнения на множители, получаем 
Поскольку каждый из множителей в левой части является целым числом, отсюда следует, что
где k и l — целые числа из отрезка [0; 100]. Найдём количество решений первой системы. Выражая из неё x и y, получаем
Рассмотрим первое уравнение. Показатели в степенях тройки неотрицательны. Сумма показателей в степенях двойки 
—
вариантов. Вторая система также имеет 9797 решений; итак, всего 19 594 решений.
Ответ: 19 594.
Левая часть уравнения на множители — 1 балла.
Составлена система линейных уравнений относительно x и у — 2 балла.
Найдите количество пар целых чисел (x; y), удовлетворяющих условию 
Раскладывая левую и правую части уравнения на множители, получаем 
Поскольку каждый из множителей в левой части является целым числом, отсюда следует, что
где k и l — целые числа из отрезка [0; 100]. Найдём количество решений первой системы. Выражая из неё x и y, получаем
Рассмотрим первое уравнение. Показатели в степенях тройки неотрицательны. Сумма показателей в степенях двойки 
—
вариантов. Вторая система также имеет 9999 решений; итак, всего 19 998 решений.
Ответ: 19 998.
Левая часть уравнения на множители — 1 балла.
Составлена система линейных уравнений относительно x и у — 2 балла.
Сколько целых решений имеет уравнение 
Если целые числа x, y удовлетворяют данному уравнению, то 
откуда
и, следовательно, 
—
Ответ: 1946.
Сколько решений в целых числах имеет уравнение
Пусть для некоторых натуральных чисел m и n выполняется равенство
Поскольку
равенство можно переписать в виде 
где 
Рассмотрим остатки от деления на 11 у левой и правой частей равенства 
Квадраты могут давать остатки лишь 0, 1, 3, 4, 5 и 9, а пятые степени лишь остатки 0, 1 и 10. Но никакие из двух написанных остатков в сумме не дают остаток 6, который будет у числа 5001.
Ответ: ни одного.
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Найти целочисленные решения уравнения:
Сделаем замену: 
и 
тогда уравнение примет вид:
отсюда 
корни уравнения 
и 
Первый случай:
Возможны четыре варианта:
Второй случай:
Значит, x2 может принимать значения 0, 1 или 4, вычисляем:
Ответ: 
| Баллы | |
|---|---|
| 15 | Обоснованно получен правильный ответ. |
| 9 | Верно решено одно из полученных уравнений. |
| 3 | Левая часть уравнения верно разложена на множители. |
| 0 | Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям. |
Решите в целых числах уравнение
где 
В ответ напишите наименьшее значение переменной x.
Преобразуем наше уравнение к виду
Получаем
или
Получаем четыре возможных варианта:
Находим x и y:
Минимальное значение 
Ответ: 
Решить уравнение в целых положительных числах 
Преобразуем исходное уравнение: 
Рассмотрим 
решим его как квадратное уравнение относительно y, получим 
и 
Тогда 
оба множителя целые положительны. Заметим, что 
Подходит разложение 
тогда 
и 
отсюда 
и 
Ответ: 
Решить уравнение в целых положительных числах 
Преобразуем исходное уравнение: 
Рассмотрим 
решим его как квадратное уравнение относительно y, получим и 
Тогда 
оба множителя целые положительны. Заметим, что Подходит разложение 
тогда и отсюда 
и 
Ответ: 
Найдите все пары целых чисел (x,y), удовлетворяющих уравнению 
Для каждой найденной пары (x, y) вычислите произведение xy. В ответ запишите сумму этих произведений.
Преобразуем исходное выражение:
Поскольку х и у целые, то имеем четыре случая:
Ответ: 8.
Докажите, что для любых целых чисел a и b существуют целые числа x и y такие, что 
Достаточно взять 
и 
Тогда
Что требовалось доказать.
| Содержание критерия | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью. | + | 12 |
| Решение задачи, содержит верную общую схему доказательства, но в результате описки или арифметической ошибки доказательство нельзя назвать корректным. | ± | 7 |
| Решение содержит значительное продвижение в верном направлении, однако, x и y не предъявлены в явном виде. | +/2 | 5 |
| Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. | ∓ | 2 |
| Ответ верный. Решение отсутствует или неверное. | ∓ | 2 |
| Задача не решена, содержательных продвижений нет. | − | 0 |
| Задача не решалась. | 0 | 0 |
Наверх